Molts estudiants que estudien matemàtiques avançades en cursos avançats probablement s’han preguntat: on s’utilitzen les pràctiques d’equacions diferencials (DE)? Per regla general, aquest tema no es discuteix a les conferències i els professors continuen immediatament a la solució de la teoria del control sense explicar als estudiants l’ús d’equacions diferencials a la vida real. Intentarem omplir aquest buit.
Comencem per definir una equació diferencial. Així doncs, una equació diferencial és una equació que relaciona el valor d’una funció derivada amb la funció mateixa, els valors d’una variable independent i alguns números (paràmetres).
L’àrea més comuna en la qual s’apliquen equacions diferencials és la descripció matemàtica dels fenòmens naturals. També s’utilitzen en la resolució de problemes on és impossible establir una relació directa entre alguns valors que descriuen un procés. Aquestes tasques sorgeixen en biologia, física i economia.
En biologia:
El primer model matemàtic substancial que descriu les comunitats biològiques va ser el model Lotka-Volterra. Descriu una població de dues espècies en interacció. El primer d'ells, anomenats depredadors, mor segons la llei x '= –ax (a> 0) en absència del segon, i el segon, víctimes, en absència de depredadors, es multiplica sense límits d'acord amb la llei Malthus. La interacció d’aquestes dues espècies es modelitza de la manera següent. Les víctimes es moren a un ritme igual al nombre de trobades de depredadors i víctimes, que en aquest model s'assumeix que és proporcional al nombre d'ambdues poblacions, és a dir, igual a dxy (d> 0). Per tant, y '= per - dxy. Els depredadors es reprodueixen a un ritme proporcional al nombre de preses: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistema d'equacions
x '= –ax + cxy, (1)
y '= per dxy, (2)
descrivint una població d’aquest tipus, un depredador és una presa i s’anomena sistema (o model) Safates - Volterra.
En física:
La segona llei de Newton es pot escriure amb forma d’equació diferencial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), on m és la massa del cos, x és la seva coordenada, F (x, t) és la força que actua sobre el cos amb la coordenada x en el moment t. La seva solució és la trajectòria del cos sota l’acció de la força indicada.
